Моделирование траекторий КА — Задача трёх тел

Численное моделирование траекторий КА в круговой ограниченной задаче трёх тел системы Земля–Луна

Сравнительный анализ интеграторов и разработка веб-симулятора с поддержкой тяги

Интерактивные приложения

3D-симулятор траекторий

Интерактивная 3D-визуализация траекторий космического аппарата во вращающейся системе координат Земля–Луна. Работает полностью в браузере.

HTML / JavaScript

Первоначальная валидация физики

Проверка корректности физической модели методом Эйлера. Графики координат, скорости и ускорения.

Streamlit

Точки Лагранжа

Визуализация сходимости к точкам Лагранжа L1–L5 в задаче трёх тел. Исследование положений равновесия.

Streamlit

Документы

Тезисы

Круговая ограниченная задача трёх тел — теоретическое обоснование, описание модели.

PDF

План доклада

Структура выступления

PDF

Презентация

Слайды к защите: модель CR3BP, сравнение интеграторов, результаты экспериментов. Версия 25.03.2026.

PDF PPTX

Численные эксперименты

Обзор экспериментов

7 численных экспериментов проверяют физическую модель CR3BP и точность интеграторов. Все результаты воспроизводимы из исходного кода.

ЭкспериментКлючевой результат
01 Дрейф ЯкобиИтерированный Верле сохраняет интеграл Якоби с точностью 10−11 — на 5 порядков лучше Эйлера
02 Сходимость (log-log)Итерированный Верле: наклон 1.97±0.03 (R²=0.999), ошибка 0.13 м при dt=30 с
03 Точки ЛагранжаL1–L5 найдены численно; аналитические приближения дают отн. ошибку 0.4–0.8%
04 Гало-орбитаПериодическая 3D-орбита у L1: период 12.2 дня, ошибка замыкания 3.6 км
05 Свободный возвратОблёт Луны 3 399 км, возврат 8 081 км; чувствительность: +1 м/с → +89 км у Луны
06 Хаос вблизи L1Показатель Ляпунова λ = 0.64 сут−1, горизонт предсказуемости ~2 суток
07 Малая тягаΔv=0.72 м/с уводит от L1 на 101 000 км; топливо 0.12 кг (0.02% от m₀)

Дрейф интеграла Якоби

Интеграл Якоби CJ — единственная сохраняющаяся величина в CR3BP. Его дрейф — прямая мера точности интегратора. Сравниваются 3 интегратора × 2 режима шага на трёх сценариях.

Дрейф Якоби: гало-орбита Дрейф Якоби: свободный возврат Дрейф Якоби: хаос вблизи L1
КонфигурацияГало-орбитаСвоб. возвратХаос L1
Эйлер фикс.2.22×10−64.84×10−13.12×10−2
Эйлер адапт.3.53×10−71.53×10−21.04×10−3
Верле полушаг. фикс.1.10×10−61.60×10−22.70×10−4
Верле полушаг. адапт.2.39×10−72.21×10−44.15×10−6
Верле итерир. фикс.3.83×10−111.15×10−23.98×10−4
Верле итерир. адапт.1.85×10−121.27×10−54.04×10−7

Сходимость интеграторов (log-log)

Ошибка позиции относительно scipy RK45 при интеграции гало-орбиты 100 ч. Полушаговый Верле деградирует до O(h) из-за силы Кориолиса; итерированный Верле восстанавливает O(h²).

Log-log сходимость
ИнтеграторНаклонОшибка при dt=30 сОтн. ошибка (d/dЗЛ)
Эйлер1.008 400 м2.2×10−5
Верле полушаговый1.001 900 м4.9×10−6
Верле итерированный1.970.13 м3.4×10−10

Точки Лагранжа L1–L5

Численное вычисление точек Лагранжа (бисекция / Ньютон) и сравнение с аналитическими приближениями (сфера Хилла).

Точкаx, кмy, кмОшибка, кмОтн. ошибка
L1323 69602 6490.82%
L2446 53101 9770.44%
L3−386 65102 7790.72%
L4188 080332 9202 8120.74%
L5188 080−332 9202 8120.74%

Остаточное ускорение в найденных точках: < 10−18 м/с².

Гало-орбита у точки L1

Периодическая 3D-орбита: начальное приближение Ричардсона (3-й порядок) + дифференциальная коррекция (стрелковый метод).

3D гало-орбита
ПараметрЗначение
Амплитуда Az15 000 км
Период293.4 ч (12.2 дня)
Ошибка замыкания3.6 км
Дрейф Якоби3.8 × 10−11

Траектория свободного возврата

Баллистическая траектория типа Apollo-13: старт с LEO, облёт Луны, возврат к Земле без использования двигателя.

Свободный возврат Чувствительность
ПараметрЗначение
Угол старта226.5°
Скорость TLI (выход на лунную трассу)10 779 м/с
Пролёт Луны3 399 км (t = 63.6 ч)
Возврат к Земле8 081 км (t = 168.1 ч)
Чувствительность: +1 м/с → Δr Луна≈ 89 км
Чувствительность: +1 м/с → Δr Земля≈ 242 км

Хаотическая чувствительность вблизи L1

16 траекторий стартуют из L1 с одинаковой скоростью 10 м/с, но в разных направлениях. Одна скорость — качественно разные судьбы.

Траекторный веер Расхождение
ПараметрЗначение
Показатель Ляпунова λ0.64 ± 0.16 сут−1
Время Ляпунова τ = 1/λ1.6 суток
Горизонт предсказуемости~2 суток

Расхождение траекторий экспоненциальное (пунктир на графике — аппроксимация eλt). Часть траекторий уходит к Луне (~380 тыс. км), часть совершает петлю вокруг Земли (~80–120 тыс. км).

Влияние малой тяги на траекторию

Даже малая тяга (<1% начальной скорости) кардинально меняет траекторию в CR3BP.

Сравнение траекторий
СценарийΔvТопливо (хим.)Результат
Земля → Луна (5 Н, 3 ч)108 м/с18 кг (3.6%)Пролёт Луны: 2 494 км
Побег от L1 (0.05 Н, 2 ч)0.72 м/с0.12 кг (0.02%)Уход на 101 000 км
Для сравнения: идеальный перелёт Гомана LEO → Луна требует Δv ≈ 3 134 м/с (топливо 328 кг из 500 кг)

Расход топлива по формуле Циолковского (Isp=300 с, m0=500 кг). Малая тяга — манёвр коррекции, а не замена импульсного перелёта.